Lời giải:

Với $x,y$ dương thì $\frac{2x+2y}{xy+2}$ nếu nhận giá trị nguyên thì là nguyên dương 

$\Rightarrow 2x+2y\geq xy+2$

$\Leftrightarrow (x-2)(y-2)-2\leq 0(*)$

Nếu $x,y> 4$ thì $(*)$ không thể xảy ra. Do đó tồn tại ít nhất 1 số trong 2 số $\leq 4$

Giả sử $y=\min (x,y)$.

Nếu $y=1$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$ nguyên khi $x+2$ là ước của $2$. Mà $x+2\geq 3$ với mọi $x$ nguyên dương nên TH này loại

Nếu $y=2$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+4}{2x+2}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $1$. Mà $x+1\geq 2$ nên TH này cũng loại nốt.

Nếu $y=3$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=x-2-2=x-4$

$\Rightarrow 4\geq x$. Vì $x\geq y$ nên $x=3$ hoặc $x=4$. Thay vô phân thức ban đầu ta có $(x,y)=(4,3)$ thỏa mãn

Nếu $y=4$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=2(x-2)-2$

$\Rightarrow x\leq 3$. Mà $x\geq y$ nên loại.

Vậy $(x,y)=(4,3)$ và hoán vị $(3,4)$

\(x\ge xy+1\Rightarrow1\ge y+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{y}{x}}\Rightarrow\dfrac{y}{x}\le\dfrac{1}{4}\)

\(Q^2=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{3x^2-xy+y^2}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2+2\left(\dfrac{y}{x}\right)+1}{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-\dfrac{y}{x}+3}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=t\le\dfrac{1}{4}\) 

\(Q^2=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}=\dfrac{t^2+2t+1}{t^2-t+3}-\dfrac{5}{9}+\dfrac{5}{9}\)

\(Q^2=\dfrac{\left(4t-1\right)\left(t+6\right)}{9\left(t^2-t+3\right)}+\dfrac{5}{9}\le\dfrac{5}{9}\)

\(\Rightarrow Q_{max}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) khi \(t=\dfrac{1}{4}\) hay \(\left(x;y\right)=\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

- Với \(x=1\) ko thỏa mãn

- Với \(x=2\Rightarrow\dfrac{2}{2y+2}\in Z\Rightarrow\dfrac{1}{y+1}\in Z\Rightarrow y=\left\{-2;0\right\}\) ko thỏa mãn

- Với \(x\ge3\)

\(x^2-2⋮xy+2\Rightarrow x\left(xy+2\right)-y\left(x^2-2\right)⋮xy+2\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)⋮xy+2\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\le2\)

\(\Rightarrow y-2\le\dfrac{2}{x-2}\le\dfrac{2}{3-2}=2\Rightarrow y\le4\)

\(\Rightarrow y=\left\{1;2;3;4\right\}\)

Lần lượt thay 3 giá trị của y vào pt biểu thức ban đầu

Ví dụ: \(y=1\Rightarrow\dfrac{x^2-2}{x+2}\in Z\Rightarrow x-2+\dfrac{2}{x+2}\in Z\)

\(\Rightarrow x+2=Ư\left(2\right)\Rightarrow\) ko tồn tại x nguyên dương t/m

Tương tự...

\(K=\left(4xy+\dfrac{1}{4xy}\right)+\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{5}{4xy}\)

\(K\ge2\sqrt{\dfrac{4xy}{4xy}}+\dfrac{4}{x^2+y^2+2xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge2+4+5=11\)

\(K_{min}=11\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(6xy=x+y\ge2\sqrt[]{xy}\Rightarrow\sqrt{xy}\ge\dfrac{1}{3}\Rightarrow xy\ge\dfrac{1}{9}\Rightarrow\dfrac{1}{xy}\le9\)

\(M=\dfrac{\dfrac{x+1}{xy+1}+\dfrac{xy+x}{1-xy}+1}{1+\dfrac{xy+x}{1-xy}-\dfrac{x+1}{xy+1}}=\dfrac{\dfrac{x+1}{xy+1}+\dfrac{x+1}{1-xy}}{\dfrac{x+1}{1-xy}-\dfrac{x+1}{xy+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1+xy}}{\dfrac{1}{1-xy}-\dfrac{1}{1+xy}}\)

\(M=\dfrac{1+xy+1-xy}{1+xy-1+xy}=\dfrac{2}{2xy}=\dfrac{1}{xy}\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)